Geometria Riemaniana

Gostaria de convidá-los e motivá-los a se inscreverem na disciplina Geometria Riemaniana. Apesar do nome um tanto exótico para alguns, esta disciplina no IPRJ objetiva a modelagem matemática e computacional de curvas, superfícies e hipersuperfícies em dimensão alta. Em outras palavras, trata-se do estudo de fenômenos contínuos que dependem de vários parâmetros, e da relação entre os tais parâmetros, de forma geométrica. Nossos laboratórios estão repletos de tais fenômenos; o ferramental a ser aprendido é de utilidade fundamental a quase todas as áreas da ciência e engenharia modernas, desde robótica, aprendizagem de máquina/machine learning (redes neurais e afins), visão computacional (a minha área de pesquisa), desenvolvimento de simuladores de fluidos, otimização, sistemas dinâmicos, problemas inversos e até mesmo modelagem de fenômenos contínuos para computação gráfica em videogames.

Apesar da complexidade potencial do assunto, procurarei realizar uma revisão sensata dos conhecimentos necessários e sempre irei relacioná-los com a prática em modelagem computacional (afinal, não sou matemático de formação). De maneira prática e direta, a disciplina será útil como revisão e fixação dos conceitos de cálculo de várias variáveis e álgebra linear. A disciplina tem o objetivo bastante concreto de ensinar como aplicar o cálculo diferencial a problemas práticos e mais realisticos de engenharia, onde quase nunca encontramos apenas funções unidimensionais ou curvas simples (reta, elipse, parabola..) vistas nos contextos limitados dos cursos tradicionais de cálculo e geometria analítica. Após a revisão básica, pretendo também ajudá-los a comprender conceitos mais avançados e interessantes como: geodésicas em várias dimensões, curvaturas, torções e transformações que dependem de diversos parâmetros, bem como ferramental algébrico de formas diferenciais, tensores, grupos de Lie, fibrados, etc, conforme for possível neste primeiro curso. Nossa pós graduação também oferece um segundo curso, denominado "Variedades Diferenciáveis", onde podemos dar sequência e cobrir assuntos mais avançados aos alunos interessados. "Geometria Riemaniana", no entanto, começa mais básico.

Como estamos num programa de pós-graduação multidisciplinar, é importante que os métodos matemáticos da pesquisa sejam fortalecidos em todos os aspectos. No entanto, também tenho ciência da bagagem diversificada dos alunos nesse contexto; logo, pretendo ajudá-los individualmente e a ajustar a ênfase do curso conforme necessário à turma. Com minha ajuda direcionada, creio que seja possivel a um aluno interessado com conhecimento mediano se aprimorar bastante neste curso. Basta ter visto alguma coisa de cálculo de várias variáveis e álgebra linear, que também revisaremos em um nível mais maduro no contexto de diferenciais e planos tangentes.

Quanto à minha pesquisa, tenho trabalhado - dentre outros projetos - com dados desafiadores na tentativa de realizar uma reconstrução 3D da geometria e dinâmica de ondas oceânicas complexas a partir de imagens, incluindo situações de ondas gigantes, quebra e turbulência. Neste projeto tenho uma colaboração com o Lab Oceano da COPPE e com a Brown University, bem como um aluno de mestrado até o momento. O desafio de reconstruir e rastrear fenômenos dinâmicos tridimensionais não-rígidos requer um ferramental matemático completo para construir modelos tratáveis da deformação da crista da onda usando o conteúdo desta disciplina como base.

Os PDFs dos livros da disciplina podem ser baixados a seguir:

Livro principal:

- Riemannian Geometry, Manfredo do Carmo. Também faremos

 revisões mais elementares e ajudarei os alunos a compreender a bagagem mínima
 necessária.[1]

Os livros a seguir serao utilizados para complementar o curso:

- Livro de apoio computacional: Modeling of Curves and Surfaces in Matlab, V.

 Rovenski
 [2]

- Livro de apoio de conceitos basicos: Differential Forms and Applications, de

 Manfredo do Carmo.
 [3]

- Livro de apoio de conceitos em baixa dimensao: Differential Geometry of

 Curves and Surfaces, de Manfredo do Carmo.
 [4]

- Livro de apoio conceitual: The Road to Reality, de Roger Penrose

 [5]

Alguns livros interessantes para o curso:

"A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 1", Michael Spivak Ha um PDF um pouco ruim rolando na internet pois nao mostra as figuras direito: [6]

Tirei foto do primeiro capitulo que estaremos usando, onde pelo menos eh possivel ver as figuras. [7]

Este outro livro nao tenho o PDF mas a biblioteca deve ter: "Modern Differential Geometry with Mathematica", Alfred Gray. Muito utilizado como catalogo de curvas e superficies concretas.[8]

Tambem um livro muito bom com linguajar mais comum, do tipo "Road to Reality", eh o "Geometry and the Imagination", de Hilbert e Cohn Vossen [9]