Riemannian Geometry

De Pontão Nós Digitais
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This is the main page of a graduate-level course in Riemannian Geometry for Computational Science students, being taught in at the second semester of 2020 at the Polytechnic Institute IPRJ/UERJ.

General Info

  • Instructors: prof. prof. Ricardo Fabbri, Ph.D. Brown University
  • Meeting times: Mondays and Wednesdays 9:40am - 11:30am, online. Skype handle: ricardofabbri

Course Format

  • Evaluation criteria: Final grade = paper presentation (20%), joint expanded Latex notes on selected paper (50%), class participation (20%) and exercises/reading summaries (10%)

Pre-requisites

  • Familiarity with Calculus and Linear Algebra
  • Familiarity with Latex and Computer Programming

Approximate Content

Gostaria de convidá-los e motivá-los a se inscreverem na disciplina Geometria Riemaniana. Apesar do nome um tanto exótico para alguns, esta disciplina no IPRJ objetiva a modelagem matemática e computacional de curvas, superfícies e hipersuperfícies em dimensão alta. Em outras palavras, trata-se do estudo de fenômenos contínuos que dependem de vários parâmetros, e da relação entre os tais parâmetros, de forma geométrica. Nossos laboratórios estão repletos de tais fenômenos; o ferramental a ser aprendido é de utilidade fundamental a quase todas as áreas da ciência e engenharia modernas, desde robótica, aprendizagem de máquina/machine learning (redes neurais e afins), visão computacional (a minha área de pesquisa), desenvolvimento de simuladores de fluidos, otimização, sistemas dinâmicos, problemas inversos e até mesmo modelagem de fenômenos contínuos para computação gráfica em videogames.

Apesar da complexidade potencial do assunto, procurarei realizar uma revisão sensata dos conhecimentos necessários e sempre irei relacioná-los com a prática em modelagem computacional (afinal, não sou matemático de formação). De maneira prática e direta, a disciplina será útil como revisão e fixação dos conceitos de cálculo de várias variáveis e álgebra linear. A disciplina tem o objetivo bastante concreto de ensinar como aplicar o cálculo diferencial a problemas práticos e mais realisticos de engenharia, onde quase nunca encontramos apenas funções unidimensionais ou curvas simples (reta, elipse, parabola..) vistas nos contextos limitados dos cursos tradicionais de cálculo e geometria analítica. Após a revisão básica, pretendo também ajudá-los a comprender conceitos mais avançados e interessantes como: geodésicas em várias dimensões, curvaturas, torções e transformações que dependem de diversos parâmetros, bem como ferramental algébrico de formas diferenciais, tensores, grupos de Lie, fibrados, etc, conforme for possível neste primeiro curso. Nossa pós graduação também oferece um segundo curso, denominado "Variedades Diferenciáveis", onde podemos dar sequência e cobrir assuntos mais avançados aos alunos interessados. "Geometria Riemaniana", no entanto, começa mais básico.

Como estamos num programa de pós-graduação multidisciplinar, é importante que os métodos matemáticos da pesquisa sejam fortalecidos em todos os aspectos. No entanto, também tenho ciência da bagagem diversificada dos alunos nesse contexto; logo, pretendo ajudá-los individualmente e a ajustar a ênfase do curso conforme necessário à turma. Com minha ajuda direcionada, creio que seja possivel a um aluno interessado com conhecimento mediano se aprimorar bastante neste curso. Basta ter visto alguma coisa de cálculo de várias variáveis e álgebra linear, que também revisaremos em um nível mais maduro no contexto de diferenciais e planos tangentes.

Quanto à minha pesquisa, tenho trabalhado - dentre outros projetos - com dados desafiadores na tentativa de realizar uma reconstrução 3D da geometria e dinâmica de ondas oceânicas complexas a partir de imagens, incluindo situações de ondas gigantes, quebra e turbulência. Neste projeto tenho uma colaboração com o Lab Oceano da COPPE e com a Brown University, bem como um aluno de mestrado até o momento. O desafio de reconstruir e rastrear fenômenos dinâmicos tridimensionais não-rígidos requer um ferramental matemático completo para construir modelos tratáveis da deformação da crista da onda usando o conteúdo desta disciplina como base.

Textbooks

Main Books

- Riemannian Geometry, Manfredo do Carmo. Também faremos

 revisões mais elementares e ajudarei os alunos a compreender a bagagem mínima
 necessária.[1]

- Warner

Other Books

- Livro de apoio computacional: Modeling of Curves and Surfaces in Matlab, V.

 Rovenski
 [2]

- Livro de apoio de conceitos basicos: Differential Forms and Applications, de

 Manfredo do Carmo.
 [3]

- Livro de apoio de conceitos em baixa dimensao: Differential Geometry of

 Curves and Surfaces, de Manfredo do Carmo.
 [4]

- Livro de apoio conceitual: The Road to Reality, de Roger Penrose

 [5]

"A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 1", Michael Spivak Ha um PDF um pouco ruim rolando na internet pois nao mostra as figuras direito: [6]

Tirei foto do primeiro capitulo que estaremos usando, onde pelo menos eh possivel ver as figuras. [7]

Este outro livro nao tenho o PDF mas a biblioteca deve ter: "Modern Differential Geometry with Mathematica", Alfred Gray. Muito utilizado como catalogo de curvas e superficies concretas.[8]

Tambem um livro muito bom com linguajar mais comum, do tipo "Road to Reality", eh o "Geometry and the Imagination", de Hilbert e Cohn Vossen [9]


Lectures

Portuguese Live recordings:

Youtube playlist: [10]

  • 18Aug20 Lecture 1: Informal Introduction part 1 "What is a Manifold" [11]
  • 19Aug20 Lecture 2: Informal Introduction part 2 "What is a Manifold, continued" [12]

Partial listing & Tentative Outline

  • Lecture 3 Definitions from do Carmo, Warner and Spivak. Differentiable structure on projective space. In-depth review of projective geometry and groups

Homework

Reading: "What is a Matrix?" (due 20Aug19)

Read chapter 1 "What is a Matrix?" from prof. [Fabbri's lecture notes on numerical linear algebra ]

  • Optional: recall your linear algebra from these notes. They are insightful and very important for this course.
  • Prepare to present a 5min summary when asked in class.

Keywords

High-dimensional data analysis, manifolds, varieties, metric, distance, machine learning, metric learning, distance learning, , geometry, curvature, torsion, data science